Em uma sala há x homens e 8 mulheres. Os homens cumprimentam­se entre si e cumprimentam todas as mulheres, mas as mulheres não se cumprimentam entre si. Houve 50 cumprimentos. Quantos homens haviam na sala?

Para resolver este problema de forma matemática, precisamos entender como os cumprimentos ocorreram:

Os homens se cumprimentam entre si, e também cumprimentam todas as mulheres. No entanto, as mulheres não se cumprimentam entre si. Com isso, vamos calcular os cumprimentos dos homens:

x(x - 1) / 2 + x * 8 = 50

A equação acima representa os cumprimentos entre os homens, somados aos cumprimentos dos homens com as mulheres, totalizando 50 cumprimentos.

Desenvolvendo a equação:

x² - x / 2 + 8x = 50

Multiplicamos tudo por 2 para eliminar o denominador:

x² - x + 16x = 100

Combinando os termos semelhantes:

x² + 15x - 100 = 0

Ao resolver essa equação quadrática, encontramos as raízes x = -20 e x = 5. Ignoramos a raiz negativa pois o número de homens não pode ser negativo, restando x = 5, ou seja, 5 homens. Este é o número que faz sentido no contexto do problema.

Para confirmar, podemos verificar manualmente o número de cumprimentos:

• Homem A cumprimenta B, C, D e E: 4 cumprimentos
• Homem B cumprimenta C, D e E: 3 cumprimentos
• Homem C cumprimenta D e E: 2 cumprimentos
• Homem D cumprimenta E: 1 cumprimento

Isso dá um total de 10 cumprimentos entre os homens, e quando adicionamos os cumprimentos dos homens com as mulheres (8 cumprimentos por homem), obtemos:

10 + 8 * 5 = 50 cumprimentos

Portanto, o cálculo está correto e o número de homens na sala é 5.

Gabarito: Letra D