Questõesde INSPER sobre Geometria Espacial

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11fe735e-d8
INSPER 2015 - Matemática - Geometria Espacial, Cilindro

Um arquiteto projetou uma claraboia circular com 1 metro de diâmetro para o teto de um museu. Como o teto terá 10 metros de altura, a laje deverá ser grossa, com 1 metro de espessura. A claraboia, portanto, será um vão na laje com formato de cilindro circular reto. Considerando o ponto do chão correspondente à projeção ortogonal do centro da base desse cilindro, o raio do menor círculo que pode ser formado com centro nesse ponto, dentro do qual incidirão diretamente todos os raios solares que passarem pela claraboia, independentemente de sua inclinação em relação ao chão, é de aproximadamente

A
8,5 metros.
B
10,5 metros.
C
12,5 metros.
D
14,5 metros.
E
16,5 metros.
11dc7e7d-d8
INSPER 2015 - Matemática - Geometria Espacial, Cilindro

A figura 1 indica o dispositivo de armazenamento de uma célula como a descrita no texto, que tem bases idênticas, paralelas e de altura h. As bases desse dispositivo foram obtidas a partir de um círculo de raio r e centro O, conforme indica a figura 2.
Se esse dispositivo fosse um cilindro reto de altura h e bases circulares de raio r, a autonomia da célula seria multiplicada por

OS CAMINHOS DO HIDROGÊNIO

Com avanços tecnológicos dos materiais e da eletrônica nos últimos 15 anos, as células tornaram‐se mais baratas e formatadas para uso em situações mais corriqueiras.
(...)
Os no breaks [precursores das células] normalmente suprem a rede de computadores por 15 minutos, funcionam com enormes pilhas e seu custo sai em torno de US$ 1 mil por kW. As células, para fazer o mesmo serviço, tendem a ficar num preço em torno de US$ 1,5 mil pelo mesmo kW. “A vantagem da célula é que ela opera por um tempo que só é limitado pela capacidade de armazenamento de combustível, podendo chegar a uma autonomia de muitos dias de operação se conectada a tubulações de gás natural. Com isso, a manutenção fica menor, além de diminuir as exigências de espaço físico e a emissão de poluentes. " [...]

                Adaptado de: http://revistapesquisa.fapesp.br/2003/10/01/caminhos‐do‐hidrog%c3%aanio/. Acesso em 21.09.15.

A
4π - 3√3 / 6
B
6π / 4π + 3√3
C
6π / 4π - 3√3
D
12π / 4π - 3√3
E
4π + 3√3 / 6
8f652548-d8
INSPER 2018 - Matemática - Geometria Espacial, Poliedros

Em um restaurante, deseja-se aproveitar o espaço existente embaixo de uma escada para abrigar uma despensa que será climatizada com a instalação de um ar-condicionado. O trecho mais próximo da base da escada não será utilizado para que o novo cômodo tenha altura mínima de 2 metros. Sabe-se que a escada tem 2 metros de largura e faz um ângulo de 30º com o chão, e que a distância da base da escada à parede sobre a qual está apoiada é de 12 metros.
Para calcular a potência mínima que deve ter um ar- -condicionado, pode-se multiplicar o valor fixo de 600 BTUs (Unidade Térmica Britânica) pela área da base do cômodo a ser climatizado. Essa regra é válida apenas para cômodos com 3 m de altura e que possuem formato de paralelepípedo reto. Entretanto, também pode ser utilizada para espaços com outros formatos, desde que se obtenha a área da base (A) do paralelepípedo reto de 3 metros de altura e de mesmo volume (V) do cômodo.

A figura a seguir ilustra a situação:



Desse modo, entre as potências de ares-condicionados seguintes, a que apresenta o menor valor que supera a potência requerida para a despensa é o modelo com


A
9000 BTUs.
B
7000 BTUs.
C
18000 BTUs.
D
12000 BTUs.
E
24000 BTUs.
187551ce-d8
INSPER 2015 - Matemática - Cone, Geometria Espacial

No filme “Enrolados”, os estúdios Disney recriaram a torre onde vivia a famosa personagem dos contos de fadas Rapunzel (figura 1). Nesta recriação, podemos aproximar o sólido onde se apoiava a sua morada por um cilindro circular reto conectado a um tronco de cone, com as dimensões indicadas na figura 2, feita fora de escala.  
Para que o príncipe subisse até a torre, Rapunzel lançava suas longas tranças para baixo. Nesta operação, suponha que uma das extremidades da trança ficasse no ponto A e a outra no ponto C, onde se encontrava o rapaz. Considerando que a trança ficasse esticada e perfeitamente sobreposta à linha poligonal formada pelos segmentos , destacada em linha grossa na figura 2, o comprimento da trança de Rapunzel, em metros, é igual a

A
35.
B
38.
C
40.
D
42.
E
45.
0f672ae9-b1
INSPER 2016 - Matemática - Cone, Geometria Espacial

Um engenheiro desenvolveu uma ampulheta com diferentes alturas em seus compartimentos, conforme apresentado no esquema seguinte.

Considere que o espaço interno dos dois compartimentos da ampulheta, onde a areia é armazenada e cujas as medidas foram apresentadas no esquema, possui formato de um cone reto.

Se o cone menor for completamente cheio de areia, em um determinado tempo após virar a ampulheta, toda a areia será transferida para o cone maior. Nesse cone, ao assentar, a areia não ocupará todo o espaço interno, formando um tronco de cone, conforme ilustrado a seguir.

A razão entre a altura h do tronco de cone de areia e a altura H2 do cone maior é igual a

A

B

C
1/2
D
1/8
E
7/8
3685159f-6e
INSPER 2017 - Matemática - Geometria Espacial, Cilindro

Um cilindro circular reto, branco, possui 20 cm de diâmetro da base e 80 cm de altura. Sobre a lateral desse cilindro, foi pintada uma faixa marrom de largura uniforme igual a 3,14 cm. A faixa completou duas revoluções ao redor do cilindro, como mostra a figura.



Nas condições descritas, a faixa marrom ocupou, da área lateral do cilindro, aproximadamente,

A
5%.
B
25%.
C
0,5%.
D
2,5%.
E
10%.
366e21d0-6e
INSPER 2017 - Matemática - Pirâmides, Geometria Espacial

Se AC = √2 cm, então a pirâmide que será construída terá volume, em cm³, igual a

A fabricação de uma peça triangular de vértices A, B e C, a partir da qual será construída uma pirâmide aberta (sem a face APC), exige as seguintes especificações:


I.  são cevianas, perpendiculares em R, do triângulo ABC, com AP = CQ = 4 cm;

II. AQ = CP. 


                   

A
1/4
B
1/2
C
2/3
D
3/4
E
1/3
366ad630-6e
INSPER 2017 - Matemática - Pirâmides, Geometria Plana, Triângulos, Geometria Espacial

Se AQ = √10 cm e AC > 2 , então AC, em centímetros, é igual a

A fabricação de uma peça triangular de vértices A, B e C, a partir da qual será construída uma pirâmide aberta (sem a face APC), exige as seguintes especificações:


I.  são cevianas, perpendiculares em R, do triângulo ABC, com AP = CQ = 4 cm;

II. AQ = CP. 


                   

A
5√2
B
3√2
C
4√2
D
3√3
E
2√3
365e1977-6e
INSPER 2017 - Matemática - Prismas, Geometria Espacial

Se os volumes do prisma, indicado na figura, e do paralelepípedo reto-retângulo MRSUNQTV, tracejado na figura, são, respectivamente, iguais a 1264 cm3 e 80 cm3 , então a medida de x, em centímetros, é um número

A figura indica, em linha cheia, um prisma reto com faces, duas a duas, em planos perpendiculares ou em planos paralelos. Três de suas arestas medem 2x, 2x – 2 e x + 1, como indicado no desenho. O prisma está no sistema cartesiano XYZ, com uma face contida no plano XY e com arestas paralelas ao eixo x ou ao eixo y. Sabe-se, ainda, que P, Q, R, S, T, U e V são vértices do prisma, que O é a origem do sistema XYZ e que todas as medidas de comprimento da figura estão em centímetros.


                      

A
primo.
B
múltiplo de 11.
C
múltiplo de 13.
D
múltiplo de 3.
E
par.
90fe1b2a-6e
INSPER 2018 - Matemática - Esfera, Cone, Geometria Espacial

A imagem indica o projeto de uma peça que será impressa em uma impressora 3D.




A figura a seguir indica um corte na peça por um plano transversal. A respeito desse corte, sabe-se que AT1 T2 é um triângulo isósceles, com AT1 = AT2 , inscrito em um círculo λ. Por T1 e T2 passam duas retas tangentes a λ que se intersectam no ponto B. As medidas dos ângulos T1ÂT2 e T1T2 , indicadas na figura por α e β, estão em radianos.



Sabendo-se que a soma dos ângulos da base do triângulo AT1 T2 é igual a 4β, então α é igual a:

A
4π/ 9
B
π/ 3
C
6π/ 13
D
3π/ 7
E
7π/ 15
90dd0eef-6e
INSPER 2018 - Matemática - Trigonometria, Geometria Analítica, Funções Trigonométricas e Funções Trigonométricas Inversas, Elipse, Geometria Espacial, Cilindro

A figura 1 indica o gráfico da função trigonométrica, de em , definida por y = sen x. Seu gráfico foi desenhado no plano cartesiano de eixos ortogonais paralelos aos lados do retângulo PQRS e origem no centro desse retângulo. Sabe-se, ainda, que de A até B ocorre um período completo da senoide.



Em seguida, o retângulo PQRS é enrolado perfeitamente, formando um cilindro circular reto, como se vê na figura 2. A senoide da figura 1 origina uma elipse sobre a superfície lateral do cilindro, como indicado na figura 2.



O comprimento do eixo maior da elipse que foi produzida sobre a superfície do cilindro, na unidade de medida de comprimento dos eixos cartesianos, é igual a:

A
3√3/ 2
B
2√2
C
2√5
D
3√2/ 2
E
2√3
88870475-ab
INSPER 2015 - Matemática - Esfera, Geometria Espacial

Quando uma semiesfera de raio R é cortada por um plano paralelo ao seu plano equatorial, obtém-se um sólido chamado calota.

imagem-037.jpg

O volume V dessa calota depende da distância x entre o polo da semiesfera e o plano de corte, sendo dado pela relação:

imagem-038.jpg

A partir da explicação acima, um professor pediu a seus alunos que descobrissem, para uma semiesfera de raio R = 8, a distância x para a qual o volume da calota resultante é igual a imagem-040.jpg . Ao substituir tais valores na relação dada, os alunos constataram que 22 era raiz da equação obtida. Embora x = 22 não fosse uma solução do problema, pois é maior do que o raio da semiesfera, a constatação dos alunos ajudou-os a encontrar a real solução do problema, que é igual a

A
1 + 3√5.
B
1 + 4√3.
C
2 + 4√2.
D
3 + 2√6.
E
3 + √10.