Questõessobre Cone
Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas
geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros
engenhos com arame inextensível. Em certo momento,
ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro
arame retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na
figura seguinte:
Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem
de um foguete, que pode ser pensado como composição,
por justaposição, de diversos sólidos básicos de
revolução.
Sabendo que, na figura, os pontos B, C, E e F são
colineares, AB = 4FG, BC = 3FG, EF = 2FG, e utilizando-se
daquela forma de pensar o foguete, a decomposição
deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela
seguinte sequência de sólidos:
A imagem indica o projeto de uma peça que será impressa
em uma impressora 3D.
A figura a seguir indica um corte na peça por um plano transversal.
A respeito desse corte, sabe-se que AT1
T2
é um triângulo
isósceles, com AT1
= AT2
, inscrito em um círculo λ. Por
T1
e T2
passam duas retas tangentes a λ que se intersectam
no ponto B. As medidas dos ângulos T1ÂT2
e T1T2
, indicadas
na figura por α e β, estão em radianos.
Sabendo-se que a soma dos ângulos da base do triângulo
AT1
T2
é igual a 4β, então α é igual a:
A imagem indica o projeto de uma peça que será impressa em uma impressora 3D.
Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro.
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada.
Dados:
O volume de uma esfera de raio r é .∏.r3;
O volume do cilindro de altura h e área da base S é S.h;
O volume do cone de altura h e área da base S é .S.h;
Por simplicidade, aproxime ∏ para 3.
A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é
Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos
de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de
troncos de cones circulares retos:
• copos pequenos, para a ingestão de café: raios
das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual
a 3,6 cm;
• copos grandes, para a ingestão de água: raios das
bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois
modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada
um de seus funcionários canecas com a forma de um
cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base
de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão
usadas tanto para beber café como para beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular
reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a
R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 seja,
no mínimo, igual a
Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:
• copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;
• copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 seja,
no mínimo, igual a
Célia é uma confeiteira renomada na pequena cidade
onde mora. Herdou de sua avó uma receita de brigadeiro
que faz o maior sucesso. Os ingredientes da receita
enchem sempre uma panela, de forma cilíndrica, com
40 cm de altura e 30 cm de diâmetro. Para inovar e atrair
mais clientes, em vez de vender os brigadeiros na forma
de "bolinhas", Célia tem feito brigadeiros em forma de
cones. Para isso, utiliza forminhas cônicas de 5 cm de
altura e raio da base de 1,5 cm.
A cada receita produzida, a quantidade de cones de
brigadeiro que Célia consegue obter é
Célia é uma confeiteira renomada na pequena cidade onde mora. Herdou de sua avó uma receita de brigadeiro que faz o maior sucesso. Os ingredientes da receita enchem sempre uma panela, de forma cilíndrica, com 40 cm de altura e 30 cm de diâmetro. Para inovar e atrair mais clientes, em vez de vender os brigadeiros na forma de "bolinhas", Célia tem feito brigadeiros em forma de cones. Para isso, utiliza forminhas cônicas de 5 cm de altura e raio da base de 1,5 cm.
A cada receita produzida, a quantidade de cones de brigadeiro que Célia consegue obter é
Uma empresa responsável por produzir arranjos
de parafina recebeu uma encomenda de arranjos em
formato de cone reto. Porém, teve dificuldades em
receber de seu fornecedor o molde a ser utilizado e
negociou com a pessoa que fez a encomenda o uso de
arranjos na forma de um prisma reto, com base quadrada
de dimensões 5 cm x 5 cm.
Considerando que o arranjo na forma de cone utilizava
um volume de 500 mL, qual deverá ser a altura, em
cm, desse prisma para que a empresa gaste a mesma
quantidade de parafina utilizada no cone?
Uma empresa responsável por produzir arranjos de parafina recebeu uma encomenda de arranjos em formato de cone reto. Porém, teve dificuldades em receber de seu fornecedor o molde a ser utilizado e negociou com a pessoa que fez a encomenda o uso de arranjos na forma de um prisma reto, com base quadrada de dimensões 5 cm x 5 cm.
Considerando que o arranjo na forma de cone utilizava um volume de 500 mL, qual deverá ser a altura, em cm, desse prisma para que a empresa gaste a mesma quantidade de parafina utilizada no cone?
Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um
cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada
na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é
o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se
que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o
volume do poço cilíndro, pois a terra fica mais fofa após ser escavada.
Qual é a profundidade, em metros, desse poço?
Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra retirada é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o volume do poço cilíndro, pois a terra fica mais fofa após ser escavada.
Qual é a profundidade, em metros, desse poço?
Leia o texto a seguir.
Na sequência desta narrativa, as personagens descerão a encosta da cratera alcançando seu fundo. Considere que o cone invertido, como a personagem descreve o interior da cratera, é um tronco de cone circular reto com bases paralelas. Nessas condições, ao estimar a menor distância a ser percorrida de um ponto na borda do orifício superior da cratera até um ponto na borda do orifício inferior, ou seja, a medida da geratriz desse tronco, a personagem obterá uma medida, em léguas, de aproximadamente
Dado: 1 légua = 22.000 pés
Leia o texto a seguir.
Na sequência desta narrativa, as personagens descerão a encosta da cratera alcançando seu fundo. Considere que o cone invertido, como a personagem descreve o interior da cratera, é um tronco de cone circular reto com bases paralelas. Nessas condições, ao estimar a menor distância a ser percorrida de um ponto na borda do orifício superior da cratera até um ponto na borda do orifício inferior, ou seja, a medida da geratriz desse tronco, a personagem obterá uma medida, em léguas, de aproximadamente
Dado: 1 légua = 22.000 pés
Considere um tronco de cone de volume igual a 38π m3 ? , altura igual ao dobro do seu maior raio e geratriz que forma um ângulo a com o plano da sua base. Se tg a = 6 , então o comprimento da geratriz é:
Um cone circular reto, de vértice V e raio da base igual a 6 cm,
encontra-se apoiado em uma superfície plana e horizontal sobre
uma geratriz. O cone gira sob seu eixo de revolução que
passa por V, deslocando-se sobre a superfície plana horizontal,
sem escorregar, conforme mostra a figura.
O cone retorna à posição inicial após o círculo da sua base
ter efetuado duas voltas completas de giro. Considerando
que o volume de um cone é calculado pela fórmula , o
volume do cone da figura, em cm3
, é igual a
Um cone circular reto, de vértice V e raio da base igual a 6 cm, encontra-se apoiado em uma superfície plana e horizontal sobre uma geratriz. O cone gira sob seu eixo de revolução que passa por V, deslocando-se sobre a superfície plana horizontal, sem escorregar, conforme mostra a figura.
O cone retorna à posição inicial após o círculo da sua base
ter efetuado duas voltas completas de giro. Considerando
que o volume de um cone é calculado pela fórmula , o
volume do cone da figura, em cm3
, é igual a
Um reservatório de água tem o formato de um cone circular
reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão
horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A partir
de um instante em que o reservatório está completamente
vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão
constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que
o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de,
aproximadamente,
Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente,
Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos
para armazenamento e secagem da produção de grãos,
no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone,
e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o
transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja
capacidade é de 20 m3. Uma região possui um silo cheio
e apenas um caminhão para transportar os grãos para a
usina de beneficiamento.
Utilize 3 como aproximação para π.
O número mínimo de viagens que o caminhão
precisará fazer para transportar todo o volume de grãos
armazenados no silo é
Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m3. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.
Utilize 3 como aproximação para π.
O número mínimo de viagens que o caminhão
precisará fazer para transportar todo o volume de grãos
armazenados no silo é
Um cone está inscrito em um paralelepípedo, como na fi gura. A altura do paralelepípedo é o dobro do lado da
base quadrada, de área 400 cm2
. Então, a razão entre o volume do cone e o do paralelepípedo é
Um cone está inscrito em um paralelepípedo, como na fi gura. A altura do paralelepípedo é o dobro do lado da base quadrada, de área 400 cm2 . Então, a razão entre o volume do cone e o do paralelepípedo é
Considere a esfera com raio r ≠ 0 e área total numericamente igual ao volume. A área lateral do cone reto que tem raio r e altura igual ao diâmetro desta esfera é:
Uma ampulheta tem a forma de dois cones circulares retos idênticos (mesmo raio
e mesma altura) no interior de um cilindro circular reto, conforme mostra a figura.
O volume da parte do cilindro sem os dois cones é igual _____ soma dos volumes
desses cones. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna acima.
O volume da parte do cilindro sem os dois cones é igual _____ soma dos volumes desses cones. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna acima.
Um reservatório em forma de cilindro com raio
de 1 metro e altura de 2 metros precisa ser preenchido
com a água de uma cisterna. Usando-se um balde em
forma de tronco de cone circular reto com raios de 40
centímetros e 20 centímetros, e altura de 30 centímetros,
essa tarefa seria realizada com (marque a alternativa
correta):
TEXTO 3
A dor do mundo
Eu não queria sair do meu brinquedo. Eu escrevia versos na areia na clara areia sob a paineira frondosa ou pensava mundos com a mão enquanto mexia com a terra. Eram formas de nada que acabavam compondo seres estranhos, animais de outro mundo, fantasmas, tudo o que a areia podia fornecer às minhas mãos de oito anos. Mas mãos de oito anos já suportam a alça de um balde com água, ou um feixe de gravetos para ajudar a fazer fogo no fogão a lenha. Mãos de oito anos já podem fazer coisas concretas, como tirar água da cisterna se o balde não for muito grande. Elas não servem apenas para criar mundos com terra molhada ou escrever poemas na areia seca. Não se pode dizer que é feio ser pobre, mas não há como negar que a pobreza dói. E essa dor sentida pelo adulto é intuída pela criança das mais variadas formas. Todas elas repousam na intrincada natureza do não. Era tão simples o meu modo de brincar. Do que vivenciei na infância, ficaram os mais puros fios de tristeza. As alegrias ficaram nas intenções de ser. As mais puras veias de dor. As sensações de não compreensão por estar ali, fazendo o quê? O que fazia ali, um menino com dor de ter de ficar ali, no canto do mundo, mirando e mirando as coisas em si? Todas elas ali, do mesmo jeito do monte de lenha, ou das galinhas no terreiro que aprendi desde cedo a entender sua forma enigmática de olhar o mundo. Elas olhavam ao ar como se vissem algo que pudesse anunciar um estranhamento qualquer com que se devesse ter cuidado. O universo das galinhas é uma espécie de síntese crucial da humanidade. Uma de minhas obrigações era colher os ovos nos ninhos esparramados pelo quintal. Eu gostava e não gostava de fazer esse trabalho. De procurar eu gostava. Os ninhos ficavam bem escondidos e arquitetonicamente perfeitos. Eram construídos em espaços difíceis. Ao construírem seus ninhos, as galinhas optam pelo difícil, como os bons poetas. Suas escolhas se apresentam desde a topologia do lugar onde constroem até o detalhamento, a perfeição na elaboração do ninho. Havia ninhos que ficavam suspensos em filetes secos, ramos complexos, espaços abertos. Havia ninhos que ficavam suspensos e presos por poucos ramos. Mas ficavam muito bem protegidos. Encontrá-los era uma emoção, era uma quase de felicidade. Sempre era nova a sensação. Se acontecesse da galinha estar no ninho, eu me afastava rapidamente e da maneira mais delicada possível. Ela poderia se assustar e aquele era um momento mágico. Eu só me aproximava do ninho, na ausência da galinha. Daí, ao ver aquilo, como se fosse a primeira vez que eu via um ninho e ainda mais precioso, como se fosse a primeira vez que eu visse um ninho de galinha com ovos, então eu ficava a contemplar por um tempo, sem saber o que fazer a não ser olhar pro ninho e olhar pros ovos e olhar pro ninho com ovos e ficar olhando. A forma de composição era tão perfeita e tão bonita que minhas mãos não conseguiam tocar os ovos. Era a profunda sensação do proibido que me invadia. Na verdade, era uma espécie de crime o que a gente cometia. Imaginemos como a galinha se sentia ao ver o seu belo ninho quase completamente esvaziado. Eu deixava só um, o endez, para ela não abandonar o ninho. Era bom, por outro lado, encher de ovos o cestinho de vime e ir correndo mostrar pra minha mãe o meu grande feito. Algumas vezes, e isso era raro, surgia entre os ovos, uns dois ou três azuis. Era muito bonito e a gente mostrava pra todo o mundo. Esse universo de aves e ninhos é muito rico e muito próximo do processo de composição artístico. Guimarães Rosa mostrou isso de forma maravilhosa na sua narrativa Uns inhos engenheiros, criando uma analogia entre o processo de criação do ninho do pássaro e o poema lírico. Para mim, a relação era totalmente lúdica.
(GONÇALVES, Aguinaldo. Das estampas. São Paulo: Nankin, 2013. p. 64-65.)
Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão
constante de 1 cm3
/s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base mede 3 cm.
Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em função do tempo t
em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde à distância entre o vértice do cone e a
superfície livre do líquido.
Admitindo π = 3, a equação que relaciona a altura h, em centímetros, e o tempo t, em segundos,
é representada por:
Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm3 /s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base mede 3 cm. Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em função do tempo t em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde à distância entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido.
Admitindo π = 3, a equação que relaciona a altura h, em centímetros, e o tempo t, em segundos,
é representada por:
A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por:
Uma casquinha de sorvete na forma de cone foi colocada
em um suporte com formato de um cilindro,
cujo raio da base e a altura medem a cm, conforme
a figura. O volume da parte da casquinha que está
no interior do cilindro, em cm3
, é
Uma casquinha de sorvete na forma de cone foi colocada em um suporte com formato de um cilindro, cujo raio da base e a altura medem a cm, conforme a figura. O volume da parte da casquinha que está no interior do cilindro, em cm3 , é
πa2 /2