Questão fbd65d29-3b
Prova:USP 2014
Disciplina:Matemática
Assunto:Trigonometria
Sabe-se que existem números reais A e x0 , sendo A > 0 tais que
sen x + 2 cosx = A cos(x- x0)
para todo x real. O valor de A é igual a
Sabe-se que existem números reais A e x0 , sendo A > 0 tais que
sen x + 2 cosx = A cos(x- x0)
para todo x real. O valor de A é igual a
sen x + 2 cosx = A cos(x- x0)
para todo x real. O valor de A é igual a
A
√2
B
√3
C
√5
D
2√2
E
2√3
Gabarito comentado
Vinícius WerneckMatemático e Doutor em Geofísica.
De acordo com o enunciado, temos:
senx + 2cosx = A cos(x - x0)
Desenvolvendo:
1/A.senx + 2/A.cosx = cos(x - x0)
Onde cos(x - x0) = senx0.senx + cosx0.cosx , assim:
1/A.senx + 2/A.cosx = senx0.senx + cosx0.cosx
Como essa equação é uma igualdade:
1/A = senx0
2/A = cosx0
Elevando ambas equações ao quadrado, somando e aplicando a relação fundamental da trigonometria:
(1/A)² + (2/A)² = 1
A² = 5
Então: A = √5, pois A > 0.
Resposta: Alternativa C.
senx + 2cosx = A cos(x - x0)
Desenvolvendo:
1/A.senx + 2/A.cosx = cos(x - x0)
Onde cos(x - x0) = senx0.senx + cosx0.cosx , assim:
1/A.senx + 2/A.cosx = senx0.senx + cosx0.cosx
Como essa equação é uma igualdade:
1/A = senx0
2/A = cosx0
Elevando ambas equações ao quadrado, somando e aplicando a relação fundamental da trigonometria:
(1/A)² + (2/A)² = 1
A² = 5
Então: A = √5, pois A > 0.
Resposta: Alternativa C.
