Questão 97aa8282-7f
Prova:ENEM 2015
Disciplina:Matemática
Assunto:Probabilidade
Uma competição esportiva envolveu 20 equipes
com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia
que um dos atletas havia utilizado substância proibida.
Os organizadores, então, decidiram fazer um exame
antidoping. Foram propostos três modos diferentes para
escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os
participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta,
sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então,
sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade
de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as
probabilidades de o atleta que utilizou a substância
proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do
sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
Uma competição esportiva envolveu 20 equipes
com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia
que um dos atletas havia utilizado substância proibida.
Os organizadores, então, decidiram fazer um exame
antidoping. Foram propostos três modos diferentes para
escolher os atletas que irão realizá-lo:
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes;
Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
A
P(I) < P(III) < P(II)
B
P(II) < P(I) < P(III)
C
P(I) < P(II) = P(III)
D
P(I) = P(II) < P(III)
E
P(I) = P(II) = P(III)
Gabarito comentado
Vinícius WerneckMatemático e Doutor em Geofísica.
Em um grupo de 20 equipes, cada uma com 10 atletas, temos 20 x 10 = 200 atletas no total, sendo que apenas um utilizou substância não autorizada. Assim, a probabilidade desse atleta ser escolhido é:
Modo I)
P(I) = 3 x (1/200) x (199/199) x (198/198) = 3/200
Obs. O atleta considerado pode ser o primeiro, o segundo ou o terceiro a ser sorteado.
Modo II)
P(II) = (1/20) x 3 x (1/10) x (9/9) x (8/8) = 3/200
Obs: A probabilidade da equipe do atleta ser sorteada é de 1/20.
Modo III)
P(III) = 3 x (1/20) x (19/19) x (18/18) x (1/10) x (10/10) x (10/10) = 3/200
Obs: A equipe do atleta irregular pode ser a primeira, a segunda ou a terceira a ser sorteada e a probabilidade dele ser o sorteado na equipe é 1/10.
Logo: P(I) = P(II) = P(III)
Resposta: Alternativa E.
Modo I)
P(I) = 3 x (1/200) x (199/199) x (198/198) = 3/200
Obs. O atleta considerado pode ser o primeiro, o segundo ou o terceiro a ser sorteado.
Modo II)
P(II) = (1/20) x 3 x (1/10) x (9/9) x (8/8) = 3/200
Obs: A probabilidade da equipe do atleta ser sorteada é de 1/20.
Modo III)
P(III) = 3 x (1/20) x (19/19) x (18/18) x (1/10) x (10/10) x (10/10) = 3/200
Obs: A equipe do atleta irregular pode ser a primeira, a segunda ou a terceira a ser sorteada e a probabilidade dele ser o sorteado na equipe é 1/10.
Logo: P(I) = P(II) = P(III)
Resposta: Alternativa E.
