Questão 5ecb646d-97
Prova:USP 2015
Disciplina:Matemática
Assunto:Circunferências e Círculos, Geometria Plana
No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a,b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x 2 e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a
No plano cartesiano, um círculo de centro P = (a,b) tangencia as retas de equações y = x e x = 0. Se P pertence à parábola de equação y = x 2 e a > 0, a ordenada b do ponto P é igual a
A
2 + 2√2
B
3 + 2√2
C
4 + 2√2
D
5 + 2√2
E
6 + 2√2
Gabarito comentado
Vinícius WerneckMatemático e Doutor em Geofísica.
Desenhando a situação montada no enunciado:
Assim, se P(a, b) pertence à parábola de equação y = x², logo b = a² e a distância de P à reta x – y = 0 é igual ao raio da circunferência, resolvendo:
|a - a²| / √(1² + (-1)² = a
|a - a²| = a√2
Assim,
a - a² = a√2
1 - a = √2
a = 1 - √2
ou
a - a² = - a√2
1 - a = -√2
a = 1 + √2
Sabemos que a > 0, assim a = 1 + √2, e a ordenada "b" do ponto
P é igual a b = a² = (1 + √2)² = 3 + 2√2.
Resposta: Alternativa B.
Assim, se P(a, b) pertence à parábola de equação y = x², logo b = a² e a distância de P à reta x – y = 0 é igual ao raio da circunferência, resolvendo:
|a - a²| / √(1² + (-1)² = a
|a - a²| = a√2
Assim,
a - a² = a√2
1 - a = √2
a = 1 - √2
ou
a - a² = - a√2
1 - a = -√2
a = 1 + √2
Sabemos que a > 0, assim a = 1 + √2, e a ordenada "b" do ponto
P é igual a b = a² = (1 + √2)² = 3 + 2√2.
Resposta: Alternativa B.
