Questão 566713f4-14
Prova:UERJ 2015
Disciplina:Matemática
Assunto:Geometria Espacial, Poliedros

Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.





Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo.
A soma V + F + A é igual a:

A
102

B
106

C
110

D
112

Gabarito comentado

Vinícius WerneckMatemático e Doutor em Geofísica.
Se os dados tem a forma de dodecaedros regulares, significa que estes poliedros possuem 12 faces (F = 12), constituído por 12 pentágonos regulares. Calculando o número de vértices de apenas um dodecaedro através da Relação de Euler:

V + F = A + 2

Onde,

F = 12
(12 x 5) / 2 = 30 arestas, (dividimos por dois pois existem arestas em comum)

Substituindo:

V + F = A + 2
V + 12 = 30 + 2
V = 20

Percebemos que uma face do poliedro azul está sobreposta à face do poliedro vermelho, logo:

Atotal = 30 + 30 - 5 = 55
Vtotal = 20 + 20 - 5 = 35
Ftotal = 12 + 12 - 2 = 22
Somando Vtotal + Ftotal + Atotal = 35 + 22 + 55 = 112


Resposta: Alternativa D.

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