Questão 566713f4-14
Prova:
Disciplina:
Assunto:
Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.
Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo.
A soma V + F + A é igual a:
Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.
Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo.
A soma V + F + A é igual a:
Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo.
A soma V + F + A é igual a:
A
102
B
106
C
110
D
112
Gabarito comentado
Vinícius WerneckMatemático e Doutor em Geofísica.
Se os dados tem a forma de dodecaedros regulares, significa que estes poliedros possuem 12 faces (F = 12), constituído por 12 pentágonos regulares. Calculando o número de vértices de apenas um dodecaedro através da Relação de Euler:
V + F = A + 2
Onde,
F = 12,
(12 x 5) / 2 = 30 arestas, (dividimos por dois pois existem arestas em comum)
Substituindo:
V + F = A + 2
V + 12 = 30 + 2
V = 20
Percebemos que uma face do poliedro azul está sobreposta à face do poliedro vermelho, logo:
Atotal = 30 + 30 - 5 = 55
Vtotal = 20 + 20 - 5 = 35
Ftotal = 12 + 12 - 2 = 22
Somando Vtotal + Ftotal + Atotal = 35 + 22 + 55 = 112Resposta: Alternativa D.