Potenciação

Vamos iniciar o estudo da potenciação por meio de um exemplo.

Exemplo: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

Comentário: Note que existe uma sequência de produtos que envolve o valor ‘2’, o qual é multiplicado por ele mesmo ‘6’ vezes.

A potenciação representa uma forma de simplificar essa sequência de produtos.

Em vez de escrever “2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64”, podemos simplesmente escrever 2^6 = 64, pois esta representação equivale àquela.

Assim, conceituamos a potenciação como a simplificação de uma operação que envolve uma sequência de produtos (sequência de multiplicações).

Veja mais alguns exemplos...

≫ 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3^5 = 243 ≫ 4 × 4 × 4 = 4^3 = 64 ≫ 5 × 5 × 5 × 5 = 5^4 = 625

Conseguimos generalizar a potenciação da seguinte maneira:

a × a × a × a × a = a^n, onde ‘a’ aparece ‘n’ vezes, sendo que

‘a’ é a base;

‘n’ é o expoente.

Propriedades da potenciação

Existem algumas propriedades que facilitam os cálculos que envolvem a potenciação.

1ª) Todo número elevado ao expoente ‘1’ é igual a “ele mesmo”

a^1 = a

Exemplo: 4^1 = 4

2ª) O número ‘1’ quando elevado a qualquer expoente sempre será igual a ‘1’

1^n = 1

Exemplo: 1^298 = 1

3ª) Todo nº elevado ao expoente ‘0’ é igual a ‘1’, se e somente se ‘a’ é diferente de zero (a ≠ 0)

a^0 = 1

Exemplo: 125^0 = 1

4ª) O número ‘0’ quando elevado a qualquer expoente sempre será igual a ‘0’

0^n = 0

Exemplo: 0^1982 = 0

OBS: Não existe “zero elevado a zero”. Nesse caso, diz-se que existe uma indeterminação.

• 0^0 = ∄

5ª) Produto de potências de mesma base

≫ Repetem-se as bases e somam-se os expoentes.

a^m × a^n = a^m + n

Exemplo: 3^2 × 3^3 = 3^3 + 2 = 3^5 = 243

6ª) Quociente de potências de mesma base

≫ Repetem-se as bases e subtraem-se os expoentes.

a^m ÷ a^n = a^m – n

Exemplo: 3^4 ÷ 3^2 = 3^4 – 2 = 3^2 = 9

7ª) Potência de potência

≫ Repete-se a base e multiplicam-se os expoentes.

(a^m)^n = a^m x n

Exemplo: (2^4)^2 = 2^4 x 2 = 2^8 = 256

CUIDADO!

2^3^2 → Neste caso, temos ‘2 elevado a 3 que, por sua vez, está elevado a 2’. Assim, inicialmente, devemos “elevar 3 a 2”. Veja:

2^3^2 = 2^9 = 512

8ª) Número elevado a expoente fracionário

≫ Coloca-se o número dentro da raiz. O numerador do expoente fracionário ‘vira’ o expoente desse número e o denominador do expoente fracionário ‘vira’ o índice da raiz.

9ª) Número elevado a expoente negativo

≫ Inverte-se a base. O sinal de negativo ‘vira’ positivo.

(a/b) ^ – n = (b/a)^n

Exemplo: (3/2) ^ –3 = (2/3) ^3 ---- Sempre que uma fração estiver elevada a um expoente qualquer, eleve o numerador e o denominador a esse expoente. Veja:

(2/3)^3 = 2^3/3^3 = 8/27