Questõesde USP 2009 sobre Matemática

A função f : tem como gráfico uma parábola e satisfaz f ( x + 1 ) - f (x) = 6 x - 2, para todo número real x.Então, o menor valor de f (x) ocorre quando x é igual a

No plano cartesiano Oxy, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto ( 0,2 ).
Além disso, o ponto ( 1,0 ) pertence a C. Então, o raio de C é igual a

Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?

Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a

Na figura, os pontos A, B, C, pertencem à circunferência de centro O e BC = a. A reta é perpendicular ao segmento e o ângulo AÔB mede /3 radianos. Então, a área do triângulo ABC vale

Um automóvel, modelo flex, consome 34 litros de gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta pelo uso do álcool, o automóvel consome 37 litros deste combustível para percorrer 259 km. Suponha que um litro de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve ser o preço do litro do álcool para que o custo do quilômetro rodado por esse automóvel, usando somente gasolina ou somente álcool como combustível, seja o mesmo?

A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em mede √5/4, o ponto E está em é bissetriz do ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento mede

Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao cateto , o ponto Epertence ao cateto e o ponto Fpertence à hipotenusa de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo DECF vale

Tendo em vista as aproximações log₁₀ 2 0,30, log₁₀ 3 0,48, então o maior número inteiro n, satisfazendo 10ⁿ ≤ 12⁴¹⁸, é igual a

Os números a₁, a₂, a₃ formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a₁ + 3, a₂ - 3, a₃ - 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a₁ > 0 e a₂ = 2, conclui-se que r é igual a