Questõesde ENEM sobre Geometria Espacial
Um lojista adquiriu novas embalagens para
presentes que serão distribuídas aos seus clientes.
As embalagens foram entregues para serem montadas
e têm forma dada pela figura.
Após montadas, as embalagens formarão um sólido com
quantas arestas?
Um lojista adquiriu novas embalagens para presentes que serão distribuídas aos seus clientes. As embalagens foram entregues para serem montadas e têm forma dada pela figura.
Um agricultor possui em sua fazenda um silo para
armazenar sua produção de milho. O silo, que na época
da colheita é utilizado em sua capacidade máxima,
tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, com
os lados da base medindo L metros e altura igual a
h metros. O agricultor deseja duplicar a sua produção
para o próximo ano e, para isso, irá comprar um novo
silo, no mesmo formato e com o dobro da capacidade
do atual. O fornecedor de silos enviou uma lista com os
tipos disponíveis e cujas dimensões são apresentadas
na tabela:
Para atender às suas necessidades, o agricultor deverá
escolher o silo de tipo
Um agricultor possui em sua fazenda um silo para armazenar sua produção de milho. O silo, que na época da colheita é utilizado em sua capacidade máxima, tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, com os lados da base medindo L metros e altura igual a h metros. O agricultor deseja duplicar a sua produção para o próximo ano e, para isso, irá comprar um novo silo, no mesmo formato e com o dobro da capacidade do atual. O fornecedor de silos enviou uma lista com os tipos disponíveis e cujas dimensões são apresentadas na tabela:
A figura é uma representação tridimensional da
molécula do hexafluoreto de enxofre, que tem a forma
bipiramidal quadrada, na qual o átomo central de enxofre
está cercado por seis átomos de flúor, situados nos seis
vértices de um octaedro. O ângulo entre qualquer par de
ligações enxofre-flúor adjacentes mede 90o .
Disponível em: www.portalsaofrancisco.com.br. Acesso em: 2 mar. 2013 (adaptado)
A vista superior da molécula, como representada na
figura, é:
Uma fábrica de rapadura vende seus produtos
empacotados em uma caixa com as seguintes
dimensões: 25 cm de comprimento; 10 cm de altura e
15 cm de profundidade. O lote mínimo de rapaduras
vendido pela fábrica é um agrupamento de 125 caixas
dispostas conforme a figura.
Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela
fábrica de rapaduras?
Uma fábrica de rapadura vende seus produtos empacotados em uma caixa com as seguintes dimensões: 25 cm de comprimento; 10 cm de altura e 15 cm de profundidade. O lote mínimo de rapaduras vendido pela fábrica é um agrupamento de 125 caixas dispostas conforme a figura.
Corta-se um cubo ABCDEFGH por um plano
ortogonal às faces ABCD e EFGH que contém os
pontos médios I e J das arestas CD e BC e elimina-se,
em seguida, o prisma IJCLKG, obtendo-se o prisma
ABJIDEFKLH.
A planificação da superfície do prisma resultante
ABJlDEFKLH corresponde à figura
Corta-se um cubo ABCDEFGH por um plano ortogonal às faces ABCD e EFGH que contém os pontos médios I e J das arestas CD e BC e elimina-se, em seguida, o prisma IJCLKG, obtendo-se o prisma ABJIDEFKLH.
Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing,
quer lançar no mercado novas embalagens de latas de
alumínio para os seus refrigerantes. As atuais latas de
350 mL devem ser substituídas por uma nova embalagem
com metade desse volume, conforme mostra a figura:
De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o
raio r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem
de 350 mL?
Um fabricante de bebidas, numa jogada de marketing, quer lançar no mercado novas embalagens de latas de alumínio para os seus refrigerantes. As atuais latas de 350 mL devem ser substituídas por uma nova embalagem com metade desse volume, conforme mostra a figura:
De acordo com os dados anteriores, qual a relação entre o
raio r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da embalagem
de 350 mL?
Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos
de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de
troncos de cones circulares retos:
• copos pequenos, para a ingestão de café: raios
das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual
a 3,6 cm;
• copos grandes, para a ingestão de água: raios das
bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois
modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada
um de seus funcionários canecas com a forma de um
cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base
de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão
usadas tanto para beber café como para beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular
reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a
R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 seja,
no mínimo, igual a
Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:
• copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;
• copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 seja,
no mínimo, igual a
O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França,
é um dos museus mais visitados do mundo. Uma de
suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final
da década de 1980. A seguir tem-se, na Figura 1, uma
foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura 2, uma
pirâmide reta de base quadrada que a ilustra.
Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2.
Suponha que alguns reparos devem ser efetuados
na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte
deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B,
deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocandose
pela aresta que contém esses dois pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) deslocar-se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos.
Disponível em: http://viagenslacoste.blogspot.com. Acesso em: 29 fev. 2012.
A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da
pirâmide é melhor representada por
O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da década de 1980. A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura 2, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra.
Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B, deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocandose pela aresta que contém esses dois pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) deslocar-se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos.
Disponível em: http://viagenslacoste.blogspot.com. Acesso em: 29 fev. 2012.
A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da
pirâmide é melhor representada por
Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma
cilíndrica, sem tampa, com raio medindo 10 cm e altura
de 50 cm. Para fazer uma compra adicional, solicita à
empresa fabricante um orçamento de novas lixeiras,
com a mesma forma e outras dimensões. A prefeitura
só irá adquirir as novas lixeiras se a capacidade de
cada uma for no mínimo dez vezes maior que o modelo
atual e seu custo unitário não ultrapassar R$ 20,00.
O custo de cada lixeira é proporcional à sua área total
e o preço do material utilizado na sua fabricação é
de R$ 0,20 para cada 100 cm2. A empresa apresenta
um orçamento discriminando o custo unitário e as
dimensões, com o raio sendo o triplo do anterior e a
altura aumentada em 10 cm. (Aproxime π para 3.)
O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura, pois
Uma prefeitura possui modelos de lixeira de forma cilíndrica, sem tampa, com raio medindo 10 cm e altura de 50 cm. Para fazer uma compra adicional, solicita à empresa fabricante um orçamento de novas lixeiras, com a mesma forma e outras dimensões. A prefeitura só irá adquirir as novas lixeiras se a capacidade de cada uma for no mínimo dez vezes maior que o modelo atual e seu custo unitário não ultrapassar R$ 20,00. O custo de cada lixeira é proporcional à sua área total e o preço do material utilizado na sua fabricação é de R$ 0,20 para cada 100 cm2. A empresa apresenta um orçamento discriminando o custo unitário e as dimensões, com o raio sendo o triplo do anterior e a altura aumentada em 10 cm. (Aproxime π para 3.)
O orçamento dessa empresa é rejeitado pela prefeitura, pois
Em uma aula de matemática, a professora propôs que
os alunos construíssem um cubo a partir da planificação
em uma folha de papel, representada na figura a seguir.
Após a construção do cubo, apoiou-se sobre a mesa
a face com a letra M.
As faces paralelas deste cubo são representadas pelos
pares de letras
Em uma aula de matemática, a professora propôs que os alunos construíssem um cubo a partir da planificação em uma folha de papel, representada na figura a seguir.
Após a construção do cubo, apoiou-se sobre a mesa a face com a letra M.
As faces paralelas deste cubo são representadas pelos
pares de letras
Um reservatório de uma cidade estava com 30 m3 de
água no momento em que iniciou um vazamento estimado
em 30 litros por minuto. Depois de 20 minutos, a partir do
início do vazamento, uma equipe técnica chegou ao local
e gastou exatamente 2 horas para consertar o sistema e
parar o vazamento. O reservatório não foi reabastecido
durante todo o período que esteve com o vazamento.
Qual foi o volume de água que sobrou no reservatório,
em m3, no momento em que parou o vazamento?
Um reservatório de uma cidade estava com 30 m3 de água no momento em que iniciou um vazamento estimado em 30 litros por minuto. Depois de 20 minutos, a partir do início do vazamento, uma equipe técnica chegou ao local e gastou exatamente 2 horas para consertar o sistema e parar o vazamento. O reservatório não foi reabastecido durante todo o período que esteve com o vazamento.
Qual foi o volume de água que sobrou no reservatório, em m3, no momento em que parou o vazamento?
Uma empresa responsável por produzir arranjos
de parafina recebeu uma encomenda de arranjos em
formato de cone reto. Porém, teve dificuldades em
receber de seu fornecedor o molde a ser utilizado e
negociou com a pessoa que fez a encomenda o uso de
arranjos na forma de um prisma reto, com base quadrada
de dimensões 5 cm x 5 cm.
Considerando que o arranjo na forma de cone utilizava
um volume de 500 mL, qual deverá ser a altura, em
cm, desse prisma para que a empresa gaste a mesma
quantidade de parafina utilizada no cone?
Uma empresa responsável por produzir arranjos de parafina recebeu uma encomenda de arranjos em formato de cone reto. Porém, teve dificuldades em receber de seu fornecedor o molde a ser utilizado e negociou com a pessoa que fez a encomenda o uso de arranjos na forma de um prisma reto, com base quadrada de dimensões 5 cm x 5 cm.
Considerando que o arranjo na forma de cone utilizava um volume de 500 mL, qual deverá ser a altura, em cm, desse prisma para que a empresa gaste a mesma quantidade de parafina utilizada no cone?
O Sr. José compra água do vizinho para irrigar
sua plantação, situada em um terreno na forma de um
quadrado de 30 m de lado. Ele paga R$ 100,00 mensais
pela água que consome. A água é levada a seu terreno
através de tubos em forma de cilindros de 1/2 polegada
de diâmetro.
Visando expandir sua plantação, o Sr. José adquire
um terreno com o mesmo formato que o seu, passando
a possuir um terreno em forma retangular, com 30 m de
comprimento e 60 m de largura.
Quanto ele deve pagar a seu vizinho por mês, pela água
que passará a consumir?
O Sr. José compra água do vizinho para irrigar sua plantação, situada em um terreno na forma de um quadrado de 30 m de lado. Ele paga R$ 100,00 mensais pela água que consome. A água é levada a seu terreno através de tubos em forma de cilindros de 1/2 polegada de diâmetro.
Visando expandir sua plantação, o Sr. José adquire um terreno com o mesmo formato que o seu, passando a possuir um terreno em forma retangular, com 30 m de comprimento e 60 m de largura.
Quanto ele deve pagar a seu vizinho por mês, pela água que passará a consumir?
Atendendo à encomenda de um mecânico, um
soldador terá de juntar duas barras de metais diferentes.
A solda utilizada tem espessura de 18 milímetros,
conforme ilustrado na figura.
Qual o comprimento, em metros, da peça resultante após
a soldagem?
Atendendo à encomenda de um mecânico, um soldador terá de juntar duas barras de metais diferentes. A solda utilizada tem espessura de 18 milímetros, conforme ilustrado na figura.
Qual o comprimento, em metros, da peça resultante após
a soldagem?
Uma empresa que embala seus produtos em caixas
de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja que
seu logotipo seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura:
A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes planificadas:
Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa?
Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja que seu logotipo seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura:
A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes planificadas:
Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa?
Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende
para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas
cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra
de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente,
conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da
lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do
volume da lata que possui raio menor, V2.
A medida da altura desconhecida vale
Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2.
A medida da altura desconhecida vale
Um artesão fabrica vários tipos de potes cilíndricos.
Mostrou a um cliente um pote de raio de base a e altura
b. Esse cliente, por sua vez, quer comprar um pote com o
dobro do volume do pote apresentado. O artesão diz que
possui potes com as seguintes dimensões:
• Pote I: raio a e altura 2b
• Pote II: raio 2a e altura b
• Pote III: raio 2a e altura 2b
• Pote IV: raio 4a e altura b
• Pote V: raio 4a e altura 2b
O pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o
Um artesão fabrica vários tipos de potes cilíndricos. Mostrou a um cliente um pote de raio de base a e altura b. Esse cliente, por sua vez, quer comprar um pote com o dobro do volume do pote apresentado. O artesão diz que possui potes com as seguintes dimensões:
• Pote I: raio a e altura 2b
• Pote II: raio 2a e altura b
• Pote III: raio 2a e altura 2b
• Pote IV: raio 4a e altura b
• Pote V: raio 4a e altura 2b
O pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o
Na imagem, a personagem Mafalda mede a
circunferência do globo que representa o planeta Terra.
Em uma aula de matemática, o professor considera
que a medida encontrada por Mafalda, referente à maior
circunferência do globo, foi de 80 cm. Além disso, informa
que a medida real da maior circunferência da Terra, a
linha do Equador, é de aproximadamente 40 000 km.
QUINO. Toda Mafalda. São Paulo: Martins Fontes, 2008 (adaptado).
A circunferência da linha do Equador é quantas vezes
maior do que a medida encontrada por Mafalda?
Na imagem, a personagem Mafalda mede a circunferência do globo que representa o planeta Terra.
Em uma aula de matemática, o professor considera que a medida encontrada por Mafalda, referente à maior circunferência do globo, foi de 80 cm. Além disso, informa que a medida real da maior circunferência da Terra, a linha do Equador, é de aproximadamente 40 000 km.
QUINO. Toda Mafalda. São Paulo: Martins Fontes, 2008 (adaptado).
A circunferência da linha do Equador é quantas vezes
maior do que a medida encontrada por Mafalda?
Uma empresa necessita colorir parte de suas
embalagens, com formato de caixas cúbicas, para que
possa colocar produtos diferentes em caixas distintas
pela cor, utilizando para isso um recipiente com tinta,
conforme Figura 1. Nesse recipiente, mergulhou-se um
cubo branco, tal como se ilustra na Figura 2. Desta forma,
a aparte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta.
Qual é a planificação desse cubo após submerso?
Uma empresa necessita colorir parte de suas embalagens, com formato de caixas cúbicas, para que possa colocar produtos diferentes em caixas distintas pela cor, utilizando para isso um recipiente com tinta, conforme Figura 1. Nesse recipiente, mergulhou-se um cubo branco, tal como se ilustra na Figura 2. Desta forma, a aparte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta.
Qual é a planificação desse cubo após submerso?