Questõesde FUVEST sobre Matemática
Sejam f: R→ R e g: R+→ R definidas por
respectivamente.
O gráfico da função composta g°f é:
Sejam f: R→ R e g: R+→ R definidas por
respectivamente.
O gráfico da função composta g°f é:
Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que:
I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é
o dobro da probabilidade de retirar uma bola amarela.
II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a
probabilidade de retirar uma bola vermelha passa a ser 1/2.
III. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa urna, a
probabilidade de retirar uma bola branca passa a ser 1/2.
A quantidade de bolas brancas na urna é
Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada
rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover‐se uma
unidade para a direita ou mover‐se uma unidade para a
esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual
probabilidade.
Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à
posição inicial?
O gráfico mostra a evolução diária, em certo intervalo de tempo não especificado na abscissa, de dois índices econômicos, normalizados para que suas médias, no mesmo período, sejam ambas iguais a 1. O valor do índice 1 no dia i é xi e o valor do índice 2 no dia i é yi. O gráfico ilustra como cada um dos índice xi e yi varia em função de i, mostrando os pontos (i, xi) (pontos escuros) e (i, yi) (pontos claros).
Para entender melhor a relação entre os dois índices, um novo gráfico foi feito com os pares (xi, yi), isto é, com o índice 1 na abscissa contra o índice 2 na ordenada. O resultado foi:
Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B, e C apoia‐se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo,
e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição
inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com
uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo,
após o que passa a ser uma rotação em torno de A ,até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.
Usando as dimensões indicadas na figura ( AB = 1 e BC = 2),
qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice B,
desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no solo
novamente?
Um dono de restaurante assim descreveu a evolução do
faturamento quinzenal de seu negócio, ao longo dos dez
primeiros meses após a inauguração: “Até o final dos três
primeiros meses, tivemos uma velocidade de crescimento mais
ou menos constante, quando então sofremos uma queda
abrupta, com o faturamento caindo à metade do que tinha sido
atingido. Em seguida, voltamos a crescer, igualando, um mês e
meio depois dessa queda, o faturamento obtido ao final do
terceiro mês. Agora, ao final do décimo mês, estamos
estabilizando o faturamento em um patamar 50% acima do
faturamento obtido ao final do terceiro mês”.
Considerando que, na ordenada, o faturamento quinzenal está
representado em unidades desconhecidas, porém uniformemente
espaçadas, qual dos gráficos é compatível com a descrição do
comerciante?
A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos
eles com formato de um paralelepípedo reto‐retângulo. A base
de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm,
e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre
os degraus consecutivos é de 10 cm. Se essa escada for
prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão,
seu volume será igual a
Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem
0,1 mm de espessura. A pilha é formada da seguinte maneira:
coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes
seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas
anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da
pilha terá a ordem de grandeza
Uma empresa estuda cobrir um vão entre dois prédios (com
formato de paralelepípedos reto‐retângulos) que têm paredes
laterais paralelas, instalando uma lona na forma de um
quadrilátero, com pontas presas nos pontos A, B, C,e D, conforme indicação da figura.
Sabendo que a lateral de um prédio tem 80 m de altura e 28 m
de largura, que a lateral do outro prédio tem 60 m de altura e
20 m de largura e que essas duas paredes laterais distam 15 m
uma da outra, a área total dessa lona seria de
Se a função ݂: f :ℝ - { 2 } → ℝ é definida por ݂f (x) = e a
função ݃ g :ℝ - { 2 } → ℝ é definida por ݃g (x) = f ( f(x) ), então
݃g(x) é igual a
Se a função ݂: f :ℝ - { 2 } → ℝ é definida por ݂f (x) = e a função ݃ g :ℝ - { 2 } → ℝ é definida por ݃g (x) = f ( f(x) ), então ݃g(x) é igual a
Considere a função polinomial ݂ f : ℝ → ℝ definida por
f ( x) = ax2 + bx + c,
em que a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0. No plano cartesiano xy ,a única intersecção da reta y = 2 com o gráfico de ݂f é o ponto (2;2) e a intersecção da reta x = 0 com o gráfico de ݂f é o ponto (0; - 6). O valor de a + b + c é
Considere a função polinomial ݂ f : ℝ → ℝ definida por
f ( x) = ax2 + bx + c,
em que a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0. No plano cartesiano xy ,a única intersecção da reta y = 2 com o gráfico de ݂f é o ponto (2;2) e a intersecção da reta x = 0 com o gráfico de ݂f é o ponto (0; - 6). O valor de a + b + c é
Um grão de milho de pipoca, visto a olho nu,
apresenta duas regiões distintas,
representadas por A e B na figura. Em A,
ocorre o tecido acumulador de amido, usado,
pela planta, para nutrir o embrião. Em B, os
tecidos vegetais possuem maior teor de água.
Ao ser aquecida, parte da água transforma‐se em vapor,
aumentando a pressão interna do grão. Quando a temperatura
atinge 177°C, a pressão se torna suficiente para romper o grão,
que vira uma pipoca.
Um estudo feito por um grupo de pesquisadores determinou
que o interior do grão tem 4,5 mg de água da qual, no momento
imediatamente anterior ao seu rompimento, apenas 9% está
na fase vapor, atuando como um gás ideal e ocupando 0,1 mL.
Dessa forma, foi possível calcular a pressão Pfinal no momento
imediatamente anterior ao rompimento do grão.
A associação correta entre região do milho e Pfinal é dada por:
Note e adote:Constante universal dos gases: R = 0,082 L.atm/(K.mol);
K = °C + 273;
Massas molares (g/mol): H = 1; O = 16.
Em uma família, o número de irmãs de cada filha é igual à
metade do número de irmãos. Cada filho tem o mesmo número
de irmãos e irmãs.
O número total de filhos e filhas da família é
Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a
temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de
acordo com a seguinte fórmula:
V(t) = log2(5 + 2sen(πt)), 0 ≤ t ≤ 2,
em que t é medido em horas e V(t) é medido em m3
. A
pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0,2] ocorre
no instante
Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula:
V(t) = log2(5 + 2sen(πt)), 0 ≤ t ≤ 2,
em que t é medido em horas e V(t) é medido em m3 . A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0,2] ocorre no instante
Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no
primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas
tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferências
se interceptam em dois pontos distintos de coordenadas
(x1, y1) e (x2, y2).
O valor de ( x1 + y1)2 + (x2 + y2)2 é igual a
Duas circunferências com raios 1 e 2 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano e ambas tangenciam os dois eixos coordenados. Essas circunferências se interceptam em dois pontos distintos de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2).
O valor de ( x1 + y1)2 + (x2 + y2)2 é igual a
Um reservatório de água tem o formato de um cone circular
reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão
horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A partir
de um instante em que o reservatório está completamente
vazio, inicia'se seu enchimento com água a uma vazão
constante de
500 litros por minuto. O tempo gasto para que
o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de,
aproximadamente,
Dados:
π é aproximadamente 3,14.
O volume V do cone circular reto de altura h e raio da base r é
Um reservatório de água tem o formato de um cone circular reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A partir de um instante em que o reservatório está completamente vazio, inicia'se seu enchimento com água a uma vazão constante de 500 litros por minuto. O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente,
Dados:
π é aproximadamente 3,14.
O volume V do cone circular reto de altura h e raio da base r é
4 horas e 50 minutos.
O polinômio P(x) = x3 - 3x2 + 7x - 5 possui uma raiz
complexa cuja parte imaginária é positiva. A parte real de 3 é igual a
O polinômio P(x) = x3 - 3x2 + 7x - 5 possui uma raiz complexa cuja parte imaginária é positiva. A parte real de 3 é igual a