Regra de três Simples e Composta

A Regra de três é um mecanismo de resolver problemas muito eficiente e importante. No ENEM, a regra de três é cobrada constantemente nos problemas de matemática, e, de outras áreas como física e química. A Regra de três consiste em encontrar um valor desconhecido quando se tem duas ou mais grandezas. Porém, o que são grandezas? Como a regra de três aparece nas questões? Vamos lá!

Grandezas

Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, contado, como velocidade, tempo, comprimento, quantidades, área, volume, massa, custo, entre outros. Na regra de três podemos expressar essas medidas através de números. As grandezas podem ser aumentadas ou diminuídas.

Exemplo: Em uma viagem de carro, quanto maior a distância percorrida, maior o consumo de gasolina. Nesse caso, as grandezas são a distância percorrida e os litros de gasolina.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Quando comparamos grandezas e observamos que estas são proporcionais precisamos conferir se são diretamente ou inversamente proporcionais.

As grandezas são diretamente proporcionais quando à medida que uma aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção. Da mesma maneira, se uma diminui, a outra diminui na mesma proporção.

Exemplo: Em um forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

Observe que enquanto o tempo aumenta, a produção também aumenta.

Grandezas Inversamente Proporcionais

As grandezas são inversamente proporcionais quando a medida que uma aumenta, a outra diminui, na mesma proporção.

Exemplo: Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Observe que enquanto a velocidade aumenta o tempo diminui.

Razão e Proporção

Razão

Razão é o quociente entre dois números. Quando vamos resolver uma questão de razão a ordem em que as grandezas aparecem no enunciado deve ser sempre respeitada.

Exemplo: Em um torneio um time marcou 15 gols e sofreu 10 gols. Qual a razão do número de gols marcados pelo número de gols sofridos?

Proporção:

A proporção é a igualdade entre duas razões. Sejam a,b,c e d números diferentes de zero, temos:

Lemos da seguinte forma:

a está para b assim como c está para d.

Chamamos a e d de extremos e b e c de meios.

A regra de três é utilizada quando não sabemos uma das grandezas de uma proporção.

Regra de três simples

Para resolver uma regra de três utilizamos a Propriedade geral das proporções, que diz o seguinte:

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Daí temos:

Então, a · d =  b · d

Exemplo: Calcule o valor de x: Resolução:

3 · x = 2 · 15

3x = 30

x = 30 / 3

x = 10

Para resolver questões de regra de três precisamos primeiro identificar se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais. 

Podemos seguir os seguintes passos:

• 1º passo: Identificar as grandezas e construção da tabela. 
• 2º passo: Analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
• 3º passo: Aplicar o método de resolução correto para cada um dos casos, e, por fim, resolver a equação.

Exemplo 1: Para atender a alta demanda em smartphones, uma fábrica decidiu aumentar o número de produtos produzidos diariamente. Para isso, ela investiu em mais 3 máquinas, totalizando 8 máquinas. Sabendo-se que eram produzidos diariamente 750 smartphones, haverá um aumento na produção diária de:

A) 1200

B) 1000

C) 210

D) 350

E) 450

Resolução:

As grandezas são os números de smartphones e o número de máquinas.

MÁQUINAS	SMARTPHONES
5	750
3	x

Quanto mais máquinas a empresa possuir, mais produtos conseguirá fazer. Dessa forma, as duas grandezas aumentam juntas, por isso, são grandezas diretamente proporcionais.

MÁQUINAS	SMARTPHONES
5	750
3	x

Daí, aplicamos a Propriedade Geral das Proporções:

5 · x = 3 · 750

5x = 2.250

x = 2.250 / 5

x = 450

Exemplo 2: Para encher um tanque de água do condomínio, 5 torneiras levam exatamente 9 horas. Supondo-se que a vazão das torneiras seja sempre a mesma, quanto tempo levaria o enchimento do tanque se fossem apenas 3 torneiras?

A) 15 horas

B) 13 horas

C) 12 horas

D) 10 horas

E) 7 horas

Resolução: As grandezas são a quantidade de torneiras e o número de horas.

TORNEIRAS	HORAS
5	9
3	x

Nesse caso, quanto mais torneiras menor o tempo necessário. Então, quando uma grandeza aumenta a outra diminui, as grandezas são inversamente proporcionais.

TORNEIRAS	HORAS
5	9
3	x

Quando as grandezas são inversamente proporcionais mudamos a ordem de uma das frações, dessa forma, temos:

3 · x = 9 · 5

3x =  45

x = 15 horas

Regra de três composta

Na regra de três composta temos mais de duas grandezas.

Exemplo: Para ler os 8 livros indicados pela professora para realizar o exame final, o estudante precisa estudar 6 horas durante 7 dias para atingir sua meta. Porém, a data do exame foi antecipada e, portanto, ao invés de 7 dias para estudar, o estudante terá apenas 4 dias. Assim, quantas horas ele terá de estudar por dia, para se preparar para o exame?

Resolução:

Primeiramente, agruparemos numa tabela, os valores fornecidos acima: Observe que ao diminuir o número de dias, será necessário aumentar o número de horas de estudo para a leitura dos 8 livros.

Portanto, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais e, por isso, inverte-se o valor dos dias para realizar a equação:

Logo, o estudante precisará estudar 10,5 horas por dia, durante os 4 dias, a fim de realizar a leitura dos 8 livros indicados pela professora.

Regra de três no Enem

(ENEM/2012) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg de massa corporal a cada 8 horas.

Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:

a) 12 kg.

b) 16 kg.

c) 24 kg.

d) 36 kg.

e) 75 kg.

Resolução:

Grandezas: as gotas e a massa da criança.

Se a massa da criança aumentar, serão necessárias mais gotas de remédio. Podemos concluir que as grandezas são diretamente proporcionais, pois as duas setas têm a mesma direção.

5x = 60

x = 60 / 5

x = 12

Portanto, a massa corporal da criança é de 12 kg, e a alternativa correta é a letra a.