Leis de Kepler: o que são e exercícios

Nosso objetivo aqui será apresentar as Leis de Kepler com o foco em sua preparação para a prova do ENEM. Este assunto faz parte da Mecânica, sendo tópico introdutório para o entendimento do assunto Gravitação Universal.

Mesmo que nosso tema central não apareça com frequência nas provas do ENEM, sugerimos uma atenção especial pela simplicidade e aplicabilidade do conteúdo ao cotidiano, sendo que a resolução das questões em sua prova fará diferença em sua pontuação final, além da mágica que nos causa ao entender um pouco do funcionamento do universo.

É importante destacar que as Leis de Kepler no Enem descrevem de forma cinemática o movimento planetário baseado na teoria heliocêntrica, onde o Sol é estacionário e os demais corpos celestes o orbitam. Cabe explicar ainda, que teremos apenas a visão dinâmica na aplicabilidade das Leis de Kepler e a Gravitação Universal. Portanto, apresentamos as Leis de Kepler para nosso estudo: Lei das Órbitas (1ª Lei de Kepler), Lei das Áreas (2ª Lei de Kepler) e Lei dos Períodos (3ª Lei de Kepler).

1ª Lei de Kepler

A 1ª Lei de Kepler nasceu do problema circular das órbitas, já que os dados das pesquisas da época não batiam para essa figura geométrica. Por isso, Kepler, a partir de seus estudos das órbitas de Marte, sugeriu que a elipse se encaixava melhor na descrição devido às suas propriedades, como: seus focos e sua excentricidade, por exemplo. Calculamos a excentricidade por:

onde e é a excentricidade, c é a distância entre centro e um dos focos e a é a metade do semi-eixo maior, observe a figura 1.

Portanto, enunciamos a 1ª Lei de Kepler, conhecida como Lei das Órbitas, como sendo, as órbitas dos planetas descritas por trajetórias elípticas, onde o sol é colocado em um dos focos.

Dois importantes pontos na elipse são o afélio, ponto mais afastado do sol, e o periélio que é o ponto mais próximo do sol em uma trajetória realizada por um planeta, figura 2.

2ª Lei de Kepler

A 2ª Lei de Kepler, conhecida como Lei das Áreas, informa que a reta que liga um planeta até o Sol percorre sempre áreas iguais em intervalos de tempos iguais, com isso, sabemos que a velocidade areolar do planeta é constante.

Um ponto importante a ser observado é que a Lei das Áreas é uma consequência do princípio da conservação do momento angular, onde a quantidade de movimento de uma partícula ou de um sistema, na ausência de forças externas, sempre é constante. Exatamente como Kepler observou nas órbitas de Marte.

Dessa constatação, expandimos o conhecimento apresentado para qualquer corpo orbitando ao redor de outro. É importante lembrar que a velocidade no afélio sempre será menor do que no periélio, V periélio > V afélio.

3ª Lei de Kepler

Por fim, temos a 3ª Lei de Kepler, lei dos períodos, sendo uma importante descoberta, pois relaciona o período de revolução de um planeta ao redor do Sol, proporcionalmente, com o raio médio da órbita do planeta. A lei ficou descrita assim:

A lei apresentada é uma aproximação quando não é levado em conta a interação gravitacional, funcionando para todos os corpos celestes e partindo do princípio que no referencial ficará o corpo central, sendo este fixo.

Lei de Kepler e a Gravitação Universal

A lei da Gravitação Universal formulada por Newton informa que sobre os corpos com massas M e m atuará uma força de atração que é proporcional às massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa, temos:

Onde |F| é o módulo da força de atração, G é a constante de gravitação universal, M e m as massas dos corpos e r² a distância entre as massas ao quadrado.

A dedução da equação da força gravitacional pode ser obtida a partir da 3ª lei de Kepler, onde temos:

Considerando que um corpo m realizando um movimento circular uniforme, onde sua força centrípeta é dada por:

Lei de Kepler e o ENEM

A aplicação das leis de Kepler no ENEM irá buscar se você conseguiu compreender e desenvolver a habilidade de resolver questões problemas com aplicações matemáticas em suas resoluções, por exemplo, a prova do ENEM ano 2015:

Observações astronômicas indicam que no centro de nossa galáxia, a Via Láctea, provavelmente exista um buraco negro cuja massa é igual a milhares de vezes a massa do Sol. Uma técnica simples para estimar a massa desse buraco negro consiste em observar algum objeto que orbite ao seu redor e medir o período de uma rotação completa, T, bem como o raio médio, R, da órbita do objeto, que supostamente se desloca, com boa aproximação, em movimento circular uniforme. Nessa situação, considere que a força resultante, devido ao movimento circular, é igual, em magnitude, à força gravitacional que o buraco negro exerce sobre o objeto.

A partir do conhecimento do período de rotação, da distância média e da constante gravitacional, G, a massa do buraco negro é:

Resolução: Para resolução de nosso problema basta observar que a força centrípeta será igual a força gravitacional, portanto, temos

Item “d”

Por fim, lembre-se que as Leis de Kepler descrevem de forma ampliada o movimento dos corpos celestes e uma excelente prova!!!