Função exponencial: o que é, gráfico e exemplos

A função exponencial é utilizada para representar situações encontradas no dia a dia, como o comportamento dos casos de uma doença altamente transmissível como a COVID 19 e a gripe, como também a reprodução de bactérias, no cálculo de Juros compostos. Sua variável, ou seja, o “x” da função está no expoente e possui como inversa a função logarítmica. Para o estudo de função exponencial é importante que o estudante revise as propriedades de potência. 

O que é função exponencial

Define-se função exponencial como uma função:

Ou seja, o seu domínio é o conjunto dos números reais e o contradomínio são os números reais positivos não nulos. A sua lei de formação pode ser dada por:

Essa restrição acontece, pois 1 elevado a qualquer número é igual a ele mesmo e a> 0, pois para alguns expoentes e função não estaria definida no conjunto dos números reais. 

Exemplos:

Gráfico de uma função exponencial

O gráfico de uma função exponencial é uma curva com uma característica de crescimento ou decrescimento, bem maior que as outras funções. Como todo número elevado a zero é igual a 1, temos que ela sempre passará pelo ponto (0,1). 

Como sua base é sempre maior que 0, todos os valores da função serão positivos, ou seja, seu gráfico será sempre acima do eixo x. 

Exemplo: 

Função Crescente e Decrescente

As funções exponenciais podem ser classificadas entre crescentes e decrescentes a depender de seu comportamento. 

A função é crescente, quando o valor de x aumenta e o valor de f(x) também aumenta, isso acontece quando a >1, como mostra o exemplo: 

Agora que conhece alguns pontos dessa função é possível marcar os pontos no plano cartesiano e traçar o gráfico. 

A função é decrescente quando o valor de x aumenta e o valor de f(x) diminui, isso acontece quando 0 < a < 1.

Agora que conhece alguns pontos dessa função é possível marcar os pontos no plano cartesiano e traçar o gráfico. 

Propriedades da função exponencial

As funções exponenciais possuem algumas propriedades decorrentes da potenciação que podem ajudar na hora dos cálculos. 

1ª propriedade: 

Em qualquer função exponencial tem-se que: f(0) = 1. Essa propriedade é decorrente da propriedade da potenciação, onde qualquer número diferente de 0 elevado a 0 é igual a:

2ª propriedade: 

É possível, saber se o gráfico da função será crescente ou decrescente, apenas olhando o valor da sua base. Se o valor da base for maior que 1 (a>1), a função será crescente. Se o valor da base for entre 0 e 1 (0<a<1), a função será decrescente.

Exemplos: 

3ª propriedade: 

O gráfico da função exponencial estará sempre no primeiro e segundo quadrante, e nunca tocará o eixo x, isso acontece, pois os valores do contradomínio, ou seja, os valores que Y podem assumir são sempre maiores que 0. 

4ª propriedade: 

A função exponencial é injetora, isso significa que para valores diferentes de x a imagem também será diferente de y. Em outras palavras:

ou seja, para um único valor de y existirá um único valor de x. 

Função Logarítmica

A função logarítmica é uma função que admite inversa. Isso significa que a função logarítmica contraria a função exponencial, ou seja, se f(x) = y, então a função logarítmica, será denotada por f-1 o f-1 (y) = x.

Já o gráfico das duas funções são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3. A bissetriz é uma semirreta que divide o ângulo ao meio, ou seja, ela divide o quadrante ao meio. 

Função Exponencial no ENEM