Função quadrática: resolução, vértices, raízes e gráficos

A função quadrática ou função polinomial do 2º grau, é uma função polinomial com grau 2, expressada na forma:

Sendo a,b e c números reais.   Veremos a seguir, sua definição, o gráfico, cálculo das raízes e vértice de uma parábola, e também como a função quadrática é cobrada no ENEM. 

O que é função quadrática?

Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2º grau, qualquer função:

A função quadrática é muito utilizada em outras áreas da ciência como a biologia no estudo de reprodução de alguns animais como o bicho das maçãs, na física quando se descreve o movimento de um pêndulo ou outros objetos. Para resolver problemas sobre a função quadrática, é necessário relembrar a fórmula resolutiva da equação do 2º grau ou fórmula de Bhaskara, pois as equações do 2º grau são a base para compreender as funções quadráticas e é a partir dessa fórmula que conseguimos encontrar as raízes da função.

Função quadrática completa e incompleta

A função quadrática da forma ax²+bx+c é descrita na forma completa, porém quando os valores de b e c se igualam a 0,  chamamos de equação incompleta. 

Exemplos das equações completas: 

2x²+5x-7

a=2; b=5; c=-7

5x²-2x+4 

a=5; b=-2;c=4

Exemplos das equações incompletas: 

4x² 

a=4; b=0; c=0

2x²-5

a=2;b=0;c=-5

x²-2x 

a=1;b=-2;c=0

Gráfico de uma função quadrática 

Ao esboçar o gráfico de uma função quadrática, encontramos uma curva como a apresentada a seguir, o nome dessa curva é parábola. 

O coeficiente a, define a sua concavidade, quando a>0, a concavidade é para cima e quando a<0, a concavidade é para baixo.

Exemplo: 

f(x)=x²-5x+6  

Raiz e vértice da parábola

As raízes de uma função são os valores, para qual f(x)=0. Numa equação quadrática as raízes da função são representadas pela resolução da equação do 2º grau: f(x)=ax² + bx + c = 0

Uma das formas mais conhecidas de resolver uma equação do 2ºgrau é pela fórmula resolutiva da equação do 2º grau, ou também fórmula de Bhaskara, apresentada a seguir: 

A partir do valor de delta: é possível descobrir quantas raízes a equação possui, e assim também analisar quando o gráfico irá tocar o eixo x. 

Outro ponto importante de uma função quadrática é o vértice da função, ele irá determinar o valor máximo ou mínimo da função. O valor será máximo quando a concavidade estiver para baixo e mínimo quando a concavidade estiver para cima.  

Este ponto é calculado utilizando a seguinte fórmula: 

EXEMPLO:

Logo terá duas raízes reais distintas, calculando as raízes. 

Como resolver uma função quadrática

Determine o valor de a,b,c na função a seguir, e construa o seu gráfico. 

x=3; f(x)=2 

x=4; f(x)=9.

x=-1;f(x)=14 

Para encontrar os valores de a, b e c da função substituímos os valores de x e y na lei de formação. 

f(x) = ax²+bc+c

Substituindo o primeiro ponto:  

2=a.3²+b.3+c

2=9a+3b+c

Substituindo o segundo ponto:

9=a.4²+b.4+c

9=16a+4b+c

Substituindo o terceiro ponto. 

14=a(-1)²-1.b+c

14=a-b+c

**Agora é a hora de resolver o sistema: **

I. 2=9a+3b+c

II. 9=16a+4b+c

III. 14=a-b+c

Subtraindo II de I

7=7a+b

b=7-7a

b=7-7.2

b=-7

Substituindo IV em III, temos:

14=a-b+c

14=a-(7-7a)+c

14=a-7+7a+c

21=8a+c

c=21-8a 

c=21-8.2= 5

Substituindo b e c na equação I. 

2=9a+3(7-7a)+(21-8a)

2=9a+21-21a+21-8a

2=-20a+42

-20a=2-42

-20a=-40

a=2

Agora encontrando o vértice: 

Agora é só marcar os pontos e traçar o gráfico: 

Função quadrática no Enem

No ENEM, a função quadrática aparece em questões de interpretação dos gráficos, calculo de pontos de máximos ou de mínimos, montagem da lei de formação a partir de um problema apresentado e também na aplicação em outras áreas do conhecimento como a física e a biologia.  

ENEM 2020