Sistema de equação: o que é e como calcular

Um sistema de equação do primeiro grau com duas variáveis pode ser usado para resolução de inúmeros problemas do nosso cotidiano. Veja um exemplo:

Em um estacionamento, há carros e motos, totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?

Neste problema temos duas variáveis, carros e motos. Veremos como resolvê-lo a seguir.

Sistemas de equações

Através do conhecimento de cálculo algébrico vamos identificar o sistema do problema acima. Primeiro precisamos identificar a primeira equação:

Sendo x o número de carros e y o número de motos, temos a equação que nos dá o total de veículos:

x+y=14

Podemos do problema obter do problema outra equação, uma equação para o número de rodas, temos:

4x+2y=48

Então temos duas equações com duas variáveis.

x+y=14

4x+2y=48

Logo, para a resolução deste sistema, vamos apresentar dois métodos. O método da adição e o método da substituição. De uma forma geral, podemos perceber sistemas de equações do primeiro grau com duas variáveis da seguinte forma:

Onde a e b são coeficientes reais.

Como resolver um sistema de equações

A solução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas, x e y, por exemplo, é um par ordenado (x,y) que é solução tanto da primeira equação como da segunda equação. Vamos analisar o sistema acima:

x+y=14

4x+2y=48

Logo precisamos de uma valor de x e y que satisfaçam simultaneamente as duas equações. Perceba que o par ordenado (10,4) é solução desse sistema, pois os valores satisfazem as duas equações ao mesmo tempo.

10+4=14

4.10+2.4=48

Agora veremos os dois métodos que nos permitem chegar a esta conclusão.

Método da substituição

O método da substituição consiste em fazermos a substituição de uma variável, em função da outra, em uma das equações. Veja o exemplo:

x+y=14

4x+2y=48

1º Passo: Na primeira equação vamos isolar a variável x.

Logo teremos:

x=14-y

2º Passo: Na segunda equação vamos substituir x por x=14-y.

4(14-y)+2y=48

56-4y+2y=48

56-2y=48

2y=56-48

2y=8

y=4

3º Passo: Substituímos o valor de y em x=14-y, logo temos:

x=14-4, x=10

Então a solução do sistema é (10,4)

Método da adição

Veremos a seguir como resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas usando o método algébrico da adição. Considere o sistema:

5x+3y=21

2x-3y=14

1º Passo: Como as duas equações apresentam termos opostos (+3y e -3y), adicionamos as duas equações membro a membro. Isso permite obter uma única equação, equivalente às equações dadas, sem a incógnita y.

5x+3y=21

+2x-3y=14

________________

7x+0=35

7x=35

x= 5

Classificação dos sistemas

Um sistema de equações pode ser classificado em possível determinado, possível indeterminado e sistema impossível. Essa classificação, que leva em consideração o número de soluções, pode ser analisada por meio da resolução gráfica, conforme mostraremos a seguir.

Sistema possível determinado (SPD)

Um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é determinado quando apresenta uma única solução, ou seja, um único par ordenado.

Sistema possível indeterminado (SPI)

Um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é indeterminado quando tem infinitas soluções. Ou seja, mais de um par ordenado satisfaz a equação.

2x+6y=8

x+3y=4

Note que, ao resolver o sistema, encontramos 0.y=0, ou seja, qualquer valor de y satisfaz a equação. Logo, o sistema apresenta infinitos pares ordenados (x,y) que são resolução do sistema.

Sistema impossível (SI)

Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é impossível quando não tem solução. Ou seja, nenhum par ordenado satisfaz o sistema de equação.

2x+6y= 10

x+3y= -1

Vamos isolar x na segunda equação, logo:

x=-1-3y, substituindo x por -1-3y na primeira equação:

2.(-1-3y)+6y= 10

-2-6y+6y= 10

0y= 12

Não existe valor de y que multiplicado por zero resulte em 12. Portanto, não existe um par ordenado (x,y) que seja solução do sistema.

Sistema de equações no Enem

Problemas contextualizados são comuns no ENEM. Veja um exemplo a seguir:

Precisamos encontrar nosso sistema. Perceba que a massa da caixa cheia é:

6 + 0,225x + 0,5y = 31,80

Logo:

0,225x + 0,5y = 25,80