O que é equação do 2° grau? O que são e como calcular

Equações do 2° grau são todas equações polinomiais de uma variável de grau 2. Veja a equação a seguir:

Note que temos uma equação de variável x, onde seu maior expoente é o 2, caracterizando assim a equação como polinomial do 2º grau. Perceba que, no exemplo acima a variável x apresenta expoente 2. Essa é a diferença entre equação polinomial do 1°grau e equação polinomial do 2° grau, o primeiro tipo o expoente da variável é 1 logo, no segundo o expoente da variável é 2. Veja os exemplos:

O que é uma equação do 2° grau

Podemos definir equação polinomial do 2º grau como toda equação com uma incógnita que pode ser escrita nesta forma:

Os termos a,b e c são coeficientes reais e x a variável. Vejamos alguns exemplos:

Tipos de equação do 2° grau

Quando uma equação do 2º grau, na forma ax²+bx + c = 0, tem todos os coeficientes (a,b e c) diferentes de zero, dizemos que a equação é completa. Caso contrário, quando b ou c, ou os dois coeficientes são zero, dizemos que a equação é incompleta.

Nos exemplos acima o item a é uma equação completa, o item b, uma equação incompleta em b, e o item c, uma equação incompleta em c.

Como resolver uma equação do 2° grau

O processo de resolução de uma equação do segundo grau é o processo de determinação de suas duas raízes.

Apresentamos resoluções particulares para as equações do 2º grau na forma incompleta. Vejamos:

Resolução da equação do 2º grau incompleta em b.

Como radiciação é uma operação inversa da potência, retiramos a raiz quadrada de ambos os membros:

Veja outro exemplo:

Resolução da equação do 2º Grau incompleta em c.

x²+x=0 Para resolução deste tipo de equação, utilizaremos a técnica de fatoração por fator comum em evidência. Nesta equação o fator comum é x, com isso temos:

x.(x+1)=0

Logo, utilizamos a definição sobre o produto; o produto de dois números é zero, quando um dos números é zero. Logo temos:

x.(x+1)=0

x=0 ou x +1 = 0

x +1 = 0

x = -1

Logo, as raízes da equação são -1 e 0. Sempre que uma equação do 2º grau for incompleta em c, ou seja c = 0, uma de suas raízes será zero.

Veja outro exemplo:

Resolução da equação do 2º grau na forma completa.

Quando temos uma equação da forma ax²+bx + c = 0, com a 0, utilizamos delta (Δ) e a fórmula de Bhaskara para resolução.

O uso do Δ (Delta) discrimina a quantidade de raízes da equação, por isso ele também é conhecido como discriminante. A equação pode ter até 2 raízes, contudo:

Vejamos o exemplo a seguir da resolução de uma equação do 2º grau na forma completa:

• Primeiro passo, identificar os coeficientes a,b e c.

a = 1, b = -5 e c = 6.

Composição de uma equação do 2° grau a partir de suas raízes

Sabendo o valor da soma e do produto das raízes de uma equação do 2º grau, é possível determinar a expressão que representa essa equação. Vamos considerar a equação do 2º grau:

ax² + bx+ c = 0.

Dividindo ambos os membros da equação por a, temos:

Com isso, podemos determinar as raízes da equação x² - 5x+ 6 = 0, através da soma e produto das raízes. Podemos comparar as equações e perceber que S = 5 e P = 6. Logo quais números somados são 5, e multiplicados são 6? Como resposta obtemos 2 e 3.

Sistemas de equações

Vamos analisar sistemas de equações do 2º grau.

Considere o seguinte problema:

Isaque utilizou 6 metros de tela para cercar um galinheiro de 1,25 m². Como podemos determinar as dimensões desse galinheiro?

Vamos considerar que as dimensões do galinheiro são x e y.

Com as informações fornecidas, podemos escrever duas equações com as incógnitas x e y.

Perímetro: 2x+2y=6

Área: x.y = 1,25

Isolando a incógnita y na equação 2x+2y=6, temos:

y = 3 - x.

Substituindo y por (3-x) na equação x.y = 1,25, temos:

Agora, vamos resolver a equação do 2º grau em x.

Logo, a solução do sistema são dois pares ordenados: (0,5;2,5) e (2,5;05). Logo as dimensões do galinheiro são 0,5m e 2,5m.

Equação do 2° grau no Enem

Podemos encontrar tais equações diretamente no problema, ou dentro de funções do 2º grau.

(Enem 2016)