Análise Combinatória: o que é, como calcular e exemplos

A análise combinatória surgiu tardiamente na Matemática. Apenas no século XVII os matemáticos resolveram problemas voltados às possibilidades de um jogo de azar. Quantas formas distintas podemos formar um número de um sorteio que contém 5 algarismos? De quantas formas pode-se montar um lanche com 10 sabores de pizzas, 5 opções de sucos e 6 opções de sobremesas? A análise combinatória se preocupa com as possibilidades de certo evento acontecer. 

Funções da Análise combinatória

A análise combinatória é a utilização do raciocínio lógico para o cálculo de probabilidades e possibilidades. A proposta da análise combinatória é resolver problemas de forma eficaz. Aqui, nos preocupamos com a análise de possibilidades, veremos dentro da análise combinatória três frentes:

• Princípio Fundamental da Contagem 
• Arranjo Simples
• Combinação Simples

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem ou PFC é a forma como podemos resolver problemas de possibilidades em eventos independentes. Veja o exemplo: 

Para ir de certa cidade A para cidade B temos 3 rodovias de acesso. Contudo, da cidade B para a cidade C temos 5 rodovias de acesso. Veja o esquema a seguir:

Para ir da cidade A até a cidade B temos 3 possibilidades e da cidade B para a cidade C 5 possibilidades. De quantas maneiras podemos ir da cidade A até a cidade C passando pela cidade B?

Como temos três formas de ir de A até B e cinco formas de B até a cidade C logo, multiplicando o número de possibilidades temos:

3 . 5 = 15

Temos 15 possibilidades de ir da cidade A até a cidade C passando por B.

O Princípio Fundamental da Contagem nos revela o total de possibilidades entre eventos independentes fazendo o produto de possibilidades de cada um. 

Considere outro exemplo:

Ao sair de casa, Dora percebe que tem à sua disposição 3 pares de sapatos, 4 calças e 8 blusas. Vestindo apenas um par de sapato, uma calça e uma blusa, de quantas formas distintas Dora pode se vestir?

Possibilidades de sapatos x Possibilidade de calça x Possibilidade de blusas

3 . 4 . 8 = 96 possibilidades

Fatorial de um número

Dentro da Análise Combinatória precisamos lidar com multiplicações sucessivas de um número. Isso levou ao desenvolvimento do conceito de fatorial de um número n. Definimos Fatorial de um número n como

n! = n.(n-1).(n-2).(n-3). … .3.2.1 

Veja alguns exemplos.

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120 

Arranjo simples

Dentro da Análise Combinatória encontramos problemas de vários tipos. Problemas envolvendo troca de posição, ou permutação, problemas envolvendo agrupamento, problemas envolvendo a formação de subconjuntos dentro de um conjunto. 

Quando temos problemas de agrupamento de elementos, podemos solucionar através de Arranjo Simples ou Combinação Simples. Agrupamentos, ordenados, ou seja, em que a ordem importa podemos enquadrar como arranjo simples. Sendo n elementos ordenados p a p calculamos o Arranjo:

Vejamos o exemplo: 

Para acessar a plataforma da empresa, cada funcionário cria uma senha com 4 algarismos, todos distintos entre si. Então, o número de senhas possíveis que essa plataforma admite é igual a?

Sabemos que existem 10 algarismos possíveis, então, calcularemos o arranjo simples de 10 algarismos tomados de 4 em 4.

Desse modo, existem 5040 senhas distintas possíveis.

Combinação simples

Agrupamentos, não ordenados, ou seja, em que a ordem não importa podemos enquadrar como combinação simples. Sendo n elementos ordenados p a p calculamos a Combinação: 

A principal diferença para o arranjo é que a combinação forma subconjuntos dentro de um conjunto maior. Consideramos também que para problemas envolvendo combinação, diferente de arranjo, a ordem dos elementos não gera agrupamentos distintos, pois a ordem não importa.

Probabilidade e Análise combinatória

Dentro da perspectiva de análise de possibilidades e incertezas temos o estudo da teoria das Probabilidades. Alinhada com a Análise Combinatória, são duas vertentes da Matemática que estão intimamente ligadas desde sua origem. 

O conceito de Probabilidade é desenvolvido em um certo espaço amostral E, onde ocorre um evento A. A probabilidade de ocorrer algum elemento de A é indicada por P(A) é definida por:

Onde n(A) é o número de casos do evento e n(E) é o número de elementos do seu espaço amostral. Por vezes utilizamos o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) para determinar n(A) e n(E). Veja o exemplo a seguir:

Em uma lanchonete o cardápio apresenta 15 tipos de lanches, 8 tipos de suco e 5 tipos de sobremesa. Dentre todas as opções do cardápio, qual a probabilidade de formar uma refeição com um lanche qualquer, um suco de limão e um bolo de chocolate como sobremesa?

A quantidade de casos possíveis indica o números de caso do espaço amostral (E), logo pelo princípio fundamental da contagem temos que:

n(E) = 15 x 8 x 5 = 600

Agora vejamos o número de casos favoráveis, ou o número de casos do evento (A):

n(A) = 15 x 1 x 1 = 15

Como temos definido o suco e a sobremesa o fator multiplicativo de ambos será 1, pois as opções já estão definidas. 

Logo a probabilidade será de:

Análise Combinatória no Enem

No ENEM a Análise Combinatória é divisor de águas. Isto ocorre pois este tema dentro da Matemática e suas tecnologias pode aparecer com uma ponderação de fácil ou difícil. Vejamos alguns exemplos. 

(ENEM, 2009)

Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de:

a) Uma combinação e um arranjo, respectivamente.

b) Um arranjo e uma combinação, respectivamente.

c) Um arranjo e uma permutação, respectivamente.

d) Duas combinações.

e) Dois arranjos

De início temos a percepção que este problema envolve agrupamento de elementos. Logo percebemos então que se trata de Arranjo ou Combinação. Se a ordem importar arranjo, se não importar combinação.

Serão escolhidos 4 times dentre 12 times para definir o grupo A, como a ordem de escolha não importa e também que há formação de subgrupos dentro um grupo maior, trata-se de uma combinação.

Logo em seguida, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante, como a ordem claramente importa, isto é um arranjo. 

GABARITO: a) Uma combinação e um arranjo, respectivamente.